放寒假了，同学们应该怎样度过这个寒假呢?高中阶段是我们一生中学习的“黄金时期”。寒假这一个月的时间对同学们尤其重要。下文为大家准备了高二寒假数学检测试题作业。

一、选择题

1.已知an+1=an-3，则数列{an}是( )

A.递增数列     B.递减数列

C.常数列         D.摆动数列

解析：∵an+1-an=-3<0，由递减数列的定义知B选项正确.故选B.

答案：B

2.设an=1n+1+1n+2+1n+3+…+12n+1(n∈N*)，则( )

A.an+1>an         B.an+1=an

C.an+1

解析：an+1-an=(1n+2+1n+3+…+12n+1+12n+2+12n+3)-(1n+1+1n+2+…+12n+1)=12n+3-12n+1=-12n+32n+2.

∵n∈N*，∴an+1-an<0.故选C.

答案：C

3.1,0,1,0，…的通项公式为( )

A.2n-1         B.1+-1n2

C.1--1n2         D.n+-1n2

解析：解法1：代入验证法.

解法2：各项可变形为1+12，1-12，1+12，1-12，…，偶数项为1-12，奇数项为1+12.故选C.

答案：C

4.已知数列{an}满足a1=0，an+1=an-33an+1(n∈N*)，则a20等于( )

A.0          B.-3

C.3          D.32

解析：由a2=-3，a3=3，a4=0，a5=-3，…可知此数列的“最小正周期”为3，∴a20=a3×6+2=a2=-3，故选B.

答案：B

5.已知数列{an}的通项an=n2n2+1，则0.98( )

A.是这个数列的项，且n=6

B.不是这个数列的项

C.是这个数列的项，且n=7

D.是这个数列的项，且n=±7

解析：由n2n2+1=0.98，得0.98n2+0.98=n2，∴n2=49.∴n=±7(n=-7舍去)，故选C.

答案：C

6.若数列{an}的通项公式为an=7•(34)2n-2-3•(34)n-1，则数列{an}的( )

A.最大项为a5，最小项为a6

B.最大项为a6，最小项为a7

C.最大项为a1，最小项为a6

D.最大项为a7，最小项为a6

解析：令t=(34)n-1，n∈N+，则t∈(0,1]，且(34)2n-2=[(34)n-1]2=t2.

从而an=7t2-3t=7(t-314)2-928.

函数f(t)=7t2-3t在(0，314]上是减函数，在[314，1]上是增函数，所以a1是最大项，故选C.

答案：C

7.若数列{an}的前n项和Sn=32an-3，那么这个数列的通项公式为( )

A.an=2×3n-1        B.an=3×2n

C.an=3n+3        D.an=2×3n

解析：

①-②得anan-1=3.

∵a1=S1=32a1-3，

∴a1=6，an=2×3n.故选D.

答案：D

8.数列{an}中，an=(-1)n+1(4n-3)，其前n项和为Sn，则S22-S11等于( )

A.-85         B.85

C.-65         D.65

解析：S22=1-5+9-13+17-21+…-85=-44，

S11=1-5+9-13+…+33-37+41=21，

∴S22-S11=-65.

或S22-S11=a12+a13+…+a22=a12+(a13+a14)+(a15+a16)+…+(a21+a22)=-65.故选C.

答案：C

9.在数列{an}中，已知a1=1，a2=5，an+2=an+1-an，则a2007等于( )

A.-4         B.-5

C.4          D.5

解析：依次算出前几项为1,5,4，-1，-5，-4,1,5,4，…，发现周期为6，则a2007=a3=4.故选C.

答案：C

10.数列{an}中，an=(23)n-1[(23)n-1-1]，则下列叙述正确的是( )

A.最大项为a1，最小项为a3

B.最大项为a1，最小项不存在

C.最大项不存在，最小项为a3

D.最大项为a1，最小项为a4

解析：令t=(23)n-1，则t=1，23，(23)2，…且t∈(0,1]时，an=t•(t-1)，an=t(t-1)=(t-12)2-14.

故最大项为a1=0.

当n=3时，t=(23)n-1=49，a3=-2081;

当n=4时，t=(23)n-1=827，a4=-152729;

又a3

答案：A

二、填空题

11.已知数列{an}的通项公式an=

则它的前8项依次为________.

解析：将n=1,2,3，…，8依次代入通项公式求出即可.

答案：1,3，13，7，15，11，17，15

12.已知数列{an}的通项公式为an=-2n2+29n+3，则{an}中的最大项是第________项.

解析：an=-2(n-294)2+8658.∴当n=7时，an最大.

答案：7

13.若数列{an}的前n项和公式为Sn=log3(n+1)，则a5等于________.

解析：a5=S5-S4=log3(5+1)-log3(4+1)=log365.

答案：log365

14.给出下列公式：

①an=sinnπ2;

②an=0，n为偶数，-1n，n为奇数;

③an=(-1)n+1.1+-1n+12;

④an=12(-1)n+1[1-(-1)n].

其中是数列1,0，-1,0,1,0，-1,0，…的通项公式的有________.(将所有正确公式的序号全填上)

解析：用列举法可得.

答案：①

三、解答题

15.求出数列1,1,2,2,3,3，…的一个通项公式.

解析：此数列化为1+12，2+02，3+12，4+02，5+12，6+02，…，由分子的规律知，前项组成正自然数数列，后项组成数列1,0,1,0,1,0，….

∴an=n+1--1n22，

即an=14[2n+1-(-1)n](n∈N*).

也可用分段式表示为

16.已知数列{an}的通项公式an=(-1)n12n+1，求a3，a10，a2n-1.

解析：分别用3、10、2n-1去替换通项公式中的n，得

a3=(-1)312×3+1=-17，

a10=(-1)1012×10+1=121，

a2n-1=(-1)2n-1122n-1+1=-14n-1.

17.在数列{an}中，已知a1=3，a7=15，且{an}的通项公式是关于项数n的一次函数.

(1)求此数列的通项公式;

(2)将此数列中的偶数项全部取出并按原来的先后顺序组成一个新的数列{bn}，求数列{bn}的通项公式.

解析：(1)依题意可设通项公式为an=pn+q，

得p+q=3，7p+q=15.解得p=2，q=1.

∴{an}的通项公式为an=2n+1.

(2)依题意bn=a2n=2(2n)+1=4n+1，

∴{bn}的通项公式为bn=4n+1.

18.已知an=9nn+110n(n∈N*)，试问数列中有没有最大项?如果有，求出最大项，如果没有，说明理由.

解析：∵an+1-an=(910)(n+1)•(n+2)-(910)n(n+1)=(910)n+1•8-n9，

∴当n≤7时，an+1-an>0;

当n=8时，an+1-an=0;

当n≥9时，an+1-an<0.

∴a1a10>a11>a12….

故数列{an}存在最大项，最大项为a8=a9=99108.

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